Si on note \(\mathcal D_n\) la tribu engendrée par les v.a. Précédant \(X_n\), alors elle est indépendante avec \({\mathcal B}_{n+1}\) via un regroupement par paquets.

Par décroissance, \(\mathcal D_n\) est également indépendante de \({\mathcal B}_\infty\).

C'est vrai pour tout rang \(n\), donc également pour la tribu engendrée par l'union des \(\mathcal D_n\).

\({\mathcal B}_0\) et \({\mathcal B}_\infty\) sont donc indépendantes.

On conclut en disant que \({\mathcal B}_\infty\subset{\mathcal B}_0\), et donc qu'elle est indépendante d'elle-même.

On peut virer les premiers termes, ce qui fait que \(Z\) est \({\mathcal B}_k\)-mesurable.

C'est vrai \(\forall k\), donc \(Z\) est \({\mathcal B}_\infty\)-mesurable \(\to\) par la Loi du tout ou rien de Kolmogorov, elle est donc \({\Bbb P}\)-grossière, et donc constante ps.

\(\{\sup_n S_n=+\infty\}\in{\mathcal B}_k\) pour tout cas, donc \(\in{\mathcal B}_\infty\).

On montre via le Lemme de Borel-Cantelli que le \(\sup\) et l'\(\inf\) de \(S_n\) ne sont pas bornés, en disant qu'une suite de \(j\) gains/pertes arrivent une infinité de fois, pour tout \(j\).

On peut passer à l'union sur \(p\), ce qui nous dit que la proba que \({\Bbb P}(\inf_nS_n=-\infty)+{\Bbb P}(\sup_nS_n=+\infty)=1\)

Par symétrie, les deux probas sont égales, et sont \(\geqslant\frac12\) (car au moins l'une d'entre elles l'est) \(\to\) on conclut via la Loi du tout ou rien de Kolmogorov.

C'est une application de la Loi du tout ou rien de Kolmogorov, en passant par la Fonction de répartition.